Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Aplicatii ale integralei definite
Scris de mihaiela lazar   
Sâmbătă, 15 Februarie 2020 16:21

APLICAȚII ALE INTEGRALEI DEFINITE

Prof. Opriș Brișcan Maria,

Liceul Tehnologic,,C-tin Brâncuși” Oradea

În lucrarea de față mă voi referi la o parte din aplicațiile integralei definite și anume la calculul ariilor unor suprafețe plane și volumelor unor corpuri neregulate.

La geometrie în gimnaziu am învățat să calculăm ariile și perimetrele diferitelor suprafețe plane regulate cum ar fi pătratul,triunghiul,cercul, etc dar și volumele unor corpuri de rotație: cilindrul, conul, sfera etc. Există suprafețe și corpuri neregulate ale căror arii și volume le calculăm cu ajutorul integralelor definite studiate în manualul de ,,Analiză Matematică, în clasa a XII-a.

Cuvinte cheie: arie, suprafețe plane, integrală definită, volume, corpuri de rotație.

Aria unei suprafețe plane

Noțiuni teoretice:

Fie funcția f:[a,b]R continuă și pozitivă.Suprafața mărginită de graficul funcției f ,axa Ox și dreptele de ecuații x=a, x=b se numește subgraficul lui f și aria lui se calculează cu formula: Aria(=

Dacă f,g:[a,b]R sunt continue și f(x)g(x) atunci aria suprafeței cuprinsă între graficele celor două funcții se calculează după formula:

Aria()=

Studiem câteva exemple:

1) Fie funcția f:[0,1] R f(x)=.Cum funcția este pozitivă , aria subgraficului lui f este;

Aria()=)dx=( =+2020

2) f:[e,] R f(x)=xlnx este o funcție pozitivă , prin urmare aria subgraficului lui f ,aplicând formula de integrare prin părți și facând toate calculele este:

Aria()= xlnx)dx=(lnx-) =

3) f:[-3,2]R f(x)=

Aria(=+)dx=

=(+(=

4) Fie funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= și g(x)=2x-. Calculăm aria cuprinsă între graficele celor două funcții:

y




Aria()




x

Aria()=)dx=(2=

5) Considerăm funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= , g(x)=x+1

y




Aria()

x

Aria()=)dx=() =

6)Se consideră funcția f:RR f(x)=-3m+4mx-3, unde m este un număr real nenul.Aflați m pentru care aria suprafeței plane determinată de graficul funcției,axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=1 să fie maximă.

Aria()=-3m+4mx-3)dx=(-=-+2m-3

Această expresie este de gradul doi și este maximă pentru m=1

7)Fie funcția f:[0,∞)R f(x)=. Aflați numărul a, 0 astfel încât aria suprafeței plane determinată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=a să fie egală cu 1-.

Aria()=)dx=ln(x+2)-=ln(a+2)--ln2=ln-

Egalăm rezultatul obținut cu 1- ,iar după calcule rezultă a=2e-2

Volumul unui corp de rotație

Noțiuni teoretice:

Fie f:[a,b] o funcție continuă.Se numește corp de rotație corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției f în jurul axei Ox și are volumul dat de formula:

V(

Vom studia câteva exemple:

1) Se dă funcția f:[0,1] f(x)= . Calculavolumul corpului generat de rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

Așadar V(=dx===

[=

y

V(




x




z

2)Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subfraficului funcției f:[2,3] f(x)= în jurul axei Ox.

V(====+=

3)Se dă funcția f:[0,4] f(x)= .Aflați a astfel încât V( obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox să fie egal cu 32

V(==8

Egalăm rezultatul obținut cu 32 și din rszolvarea ecuației rezultă a=2

4)Fie f:[0,1] f(x)= . Se cere volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

V((x+=(1=

5)Se consideră funcția f:RR f(x)=3x+5 unde a este real.Să se arate că valoarea minimă a volumului corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției h:[0,1]R h(x)=f(ax) este de pentru orice x

V(

=

Astfel am obținut o funcție de gradul al doilea, iar minimul ei este . După înlocuiri și calcule făcute rezultatul este tocmai .

6)Dându-se funcția f:[0,1]R f(x)=mx+5 , aflați m real astfel încât volumul corpului obținut prin rotirea în jurul lui Ox a subgraficului lui f să fie minim.

V(=+5m+25)

Volumul este minim pentru m=

Bibliografie:

Săndulescu F., Solymoși M.,Nica C., Matematică, bacalaureat-teste, Ed. Booklet, București, 2012


Articole asemanatoare relatate:
Articole asemanatoare mai vechi:

 

Revista cu ISSN

Tema iubirii si motivul cuplului in roma…

Tema iubirii si motivul cuplului in romanul Maitreyi

TEMA IUBIRII ȘI MOTIVUL CUPLULUI ÎN ROMANUL MAITREYI (Exemplu de proiectare a activității didactice) Marincaș Marinela Adriana, profesor Liceul de Arte ,,Regina Maria”...

Read more

Probele de evaluare din cadrul examenulu…

Probele de evaluare a competenţelor din cadrul examenului de bacalaureat 2012   Luni, 11 iunie 2012, încep primele probele de evaluare a competentelor din cadrul examenului de bacalaureat. Prima sesiune a examenului...

Read more

Candidatii titularizabili din 2012 pot o…

Candidaţii titularizabili din 2012 pot ocupa posturi pe perioadă nedeteminată   Candidaţii titularizabili din 2012 pot ocupa posturi pe perioadă nedeteminată în unitatea de învăţământ în care predau.  

Read more

EDUCATIA EXCELENTEI PENTRU O SOCIETATE …

EDUCAŢIA EXCELENtEI PENTRU O SOCIETATE CENTRATÃ PE COPIL Prof. Popescu Ileana – Alina, Şcoala „Arhitect T. T. Socolescu”, com Pãulesti, jud. Prahova   Societatea centratã pe copil? Educatia excelentei? Formulãri care apar...

Read more

Integrarea copiilor cu dizabilitati in s…

INTEGRAREA COPIILOR CU DIZABILITĂŢI ÎN ŞCOALA PUBLICĂ   Profesor Lazar Mihaiela Liceul de Artă „Ioan Sima” Zalău     Dizabilitatea face parte din existenţa umană, fiind o latură a dimensiunii universale a umanităţii. Ea este cea mai...

Read more

Raportul dintre evaluare predare si inva…

RAPORTUL DINTRE EVALUARE, PREDARE ȘI ÎNVĂȚARE Profesor: Vasilache Paraschiva Școala Gimnazială „ Șt. O. Iosif ” Tecuci Rezumat: Evalurea școlară reprezintă o componentă foarte importantă a activității didactice. Profesorul, elevul sau...

Read more

Invatamantul simultan o problema frecven…

ÎNVĂȚĂMÂNTUL SIMULTAN-O PROBLEMĂ FRECVENTĂ A SATELOR ROMÂNEȘTI DE AZI Prof. Bota Maria Gabriela Liceul Teoretic Ioan Buteanu Somcuta Mare, Județul Maramureș Predarea simultană se...

Read more

Pregatire si selectionare pentru olimpia…

Pregatire si selectionare pentru olimpiadele internationale 2015   Vezi Calendarul activitatilor de pregatire si selectionare a loturilor participante la olimpiadele internationale 2015.

Read more