Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Aplicatii ale integralei definite
Scris de mihaiela lazar   
Sâmbătă, 15 Februarie 2020 16:21

APLICAȚII ALE INTEGRALEI DEFINITE

Prof. Opriș Brișcan Maria,

Liceul Tehnologic,,C-tin Brâncuși” Oradea

În lucrarea de față mă voi referi la o parte din aplicațiile integralei definite și anume la calculul ariilor unor suprafețe plane și volumelor unor corpuri neregulate.

La geometrie în gimnaziu am învățat să calculăm ariile și perimetrele diferitelor suprafețe plane regulate cum ar fi pătratul,triunghiul,cercul, etc dar și volumele unor corpuri de rotație: cilindrul, conul, sfera etc. Există suprafețe și corpuri neregulate ale căror arii și volume le calculăm cu ajutorul integralelor definite studiate în manualul de ,,Analiză Matematică, în clasa a XII-a.

Cuvinte cheie: arie, suprafețe plane, integrală definită, volume, corpuri de rotație.

Aria unei suprafețe plane

Noțiuni teoretice:

Fie funcția f:[a,b]R continuă și pozitivă.Suprafața mărginită de graficul funcției f ,axa Ox și dreptele de ecuații x=a, x=b se numește subgraficul lui f și aria lui se calculează cu formula: Aria(=

Dacă f,g:[a,b]R sunt continue și f(x)g(x) atunci aria suprafeței cuprinsă între graficele celor două funcții se calculează după formula:

Aria()=

Studiem câteva exemple:

1) Fie funcția f:[0,1] R f(x)=.Cum funcția este pozitivă , aria subgraficului lui f este;

Aria()=)dx=( =+2020

2) f:[e,] R f(x)=xlnx este o funcție pozitivă , prin urmare aria subgraficului lui f ,aplicând formula de integrare prin părți și facând toate calculele este:

Aria()= xlnx)dx=(lnx-) =

3) f:[-3,2]R f(x)=

Aria(=+)dx=

=(+(=

4) Fie funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= și g(x)=2x-. Calculăm aria cuprinsă între graficele celor două funcții:

y




Aria()




x

Aria()=)dx=(2=

5) Considerăm funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= , g(x)=x+1

y




Aria()

x

Aria()=)dx=() =

6)Se consideră funcția f:RR f(x)=-3m+4mx-3, unde m este un număr real nenul.Aflați m pentru care aria suprafeței plane determinată de graficul funcției,axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=1 să fie maximă.

Aria()=-3m+4mx-3)dx=(-=-+2m-3

Această expresie este de gradul doi și este maximă pentru m=1

7)Fie funcția f:[0,∞)R f(x)=. Aflați numărul a, 0 astfel încât aria suprafeței plane determinată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=a să fie egală cu 1-.

Aria()=)dx=ln(x+2)-=ln(a+2)--ln2=ln-

Egalăm rezultatul obținut cu 1- ,iar după calcule rezultă a=2e-2

Volumul unui corp de rotație

Noțiuni teoretice:

Fie f:[a,b] o funcție continuă.Se numește corp de rotație corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției f în jurul axei Ox și are volumul dat de formula:

V(

Vom studia câteva exemple:

1) Se dă funcția f:[0,1] f(x)= . Calculavolumul corpului generat de rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

Așadar V(=dx===

[=

y

V(




x




z

2)Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subfraficului funcției f:[2,3] f(x)= în jurul axei Ox.

V(====+=

3)Se dă funcția f:[0,4] f(x)= .Aflați a astfel încât V( obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox să fie egal cu 32

V(==8

Egalăm rezultatul obținut cu 32 și din rszolvarea ecuației rezultă a=2

4)Fie f:[0,1] f(x)= . Se cere volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

V((x+=(1=

5)Se consideră funcția f:RR f(x)=3x+5 unde a este real.Să se arate că valoarea minimă a volumului corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției h:[0,1]R h(x)=f(ax) este de pentru orice x

V(

=

Astfel am obținut o funcție de gradul al doilea, iar minimul ei este . După înlocuiri și calcule făcute rezultatul este tocmai .

6)Dându-se funcția f:[0,1]R f(x)=mx+5 , aflați m real astfel încât volumul corpului obținut prin rotirea în jurul lui Ox a subgraficului lui f să fie minim.

V(=+5m+25)

Volumul este minim pentru m=

Bibliografie:

Săndulescu F., Solymoși M.,Nica C., Matematică, bacalaureat-teste, Ed. Booklet, București, 2012


Articole asemanatoare relatate:
Articole asemanatoare mai vechi:

 

Revista cu ISSN

Raport incheiat in urma inspectiei temat…

ANEXA Nr. 6   la regulament   INSPECTORATUL SCOLAR AL JUDETULUI ................./INSPECTORATUL SCOLAR AL MUNICIPIULUI BUCURESTI Nr. de inregistrare: ............................................   RAPORT INCHEIAT IN URMA INSPECTIEI TEMATICE   - model -   Unitatea de invatamant/institutia...

Read more

Breaking old storyteling steroetypes res…

BREAKING OLD STORYTELLING STEREOTYPES – RESEARCH STUDY Profesor limba engleză Cristina Lungan Școala Gimnazială ,,Sfânta Vineri” Ploiești, Prahova The consuming society has left its...

Read more

Schimbari in programa de invatamant din …

SCHIMBĂRI ÎN PROGRAMA DE ÎNVĂțĂMÂNT DIN TOAMNĂ MEN aduce schimbări privind programa de învățământ pentru anul școlar 2014-2015. Se pare că cei mai afectați vor fi elevii din clasele I-IV. Astfel, Ministerul...

Read more

Metodologia predarii disciplinei religie…

Metodologia predarii disciplinei religie in invatamantul preuniversitar Vezi Ordinul M.E.C.S. nr. 5232/14.09.2015 privind aprobarea Metodologiei de organizare a predarii disciplinei Religie in invatamantul preuniversitar.

Read more

Experimentul didactic metoda fundamental…

EXPERIMENTUL DIDACTIC - METODĂ FUNDAMENTALĂ ÎN STUDIUL BIOLOGIEI Profesor: Cocoş Alina Magdalena, Şcoala Gimnazială "ŞT.O.IOSIF", Tecuci Rezumat: Pornind de la definiţia experimentului ca metodă fundamentală în învăţarea biologiei, articolul aduce în...

Read more

Regulament de organizare si functionare …

Casa Corpului Didactic este unitate conexa a Ministerului Educatiei, Cercetarii, Tineretului si Sportului, care functioneaza in fiecare judet, respectiv in municipiul Bucuresti, in baza prevederilor art. 99 alin. (1) din...

Read more

Echivalare studii universitare de scurta…

Echivalare studii universitare de scurta durata   Printr-o nota a MEN nr. 5211 din 08.10.2013 suntem informati privind organizarea unei noi sesiuni de echivalare (sesiunea 2013-2014) pe baza ECTS/SECT a invatamantului universitar...

Read more

Planificare model pentru cultura civica …

Planificare model pentru cultura civica invatamant gimnazial   Incepand cu anul scolar 2011-2012, Ministerul Educatiei, Cercetarii, Tineretului si Sportului a oferit pentru prima data tuturor cadrelor didactice modele de planificari calendaristice. Iata...

Read more