Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Aplicatii ale integralei definite
Scris de mihaiela lazar   
Sâmbătă, 15 Februarie 2020 16:21

APLICAȚII ALE INTEGRALEI DEFINITE

Prof. Opriș Brișcan Maria,

Liceul Tehnologic,,C-tin Brâncuși” Oradea

În lucrarea de față mă voi referi la o parte din aplicațiile integralei definite și anume la calculul ariilor unor suprafețe plane și volumelor unor corpuri neregulate.

La geometrie în gimnaziu am învățat să calculăm ariile și perimetrele diferitelor suprafețe plane regulate cum ar fi pătratul,triunghiul,cercul, etc dar și volumele unor corpuri de rotație: cilindrul, conul, sfera etc. Există suprafețe și corpuri neregulate ale căror arii și volume le calculăm cu ajutorul integralelor definite studiate în manualul de ,,Analiză Matematică, în clasa a XII-a.

Cuvinte cheie: arie, suprafețe plane, integrală definită, volume, corpuri de rotație.

Aria unei suprafețe plane

Noțiuni teoretice:

Fie funcția f:[a,b]R continuă și pozitivă.Suprafața mărginită de graficul funcției f ,axa Ox și dreptele de ecuații x=a, x=b se numește subgraficul lui f și aria lui se calculează cu formula: Aria(=

Dacă f,g:[a,b]R sunt continue și f(x)g(x) atunci aria suprafeței cuprinsă între graficele celor două funcții se calculează după formula:

Aria()=

Studiem câteva exemple:

1) Fie funcția f:[0,1] R f(x)=.Cum funcția este pozitivă , aria subgraficului lui f este;

Aria()=)dx=( =+2020

2) f:[e,] R f(x)=xlnx este o funcție pozitivă , prin urmare aria subgraficului lui f ,aplicând formula de integrare prin părți și facând toate calculele este:

Aria()= xlnx)dx=(lnx-) =

3) f:[-3,2]R f(x)=

Aria(=+)dx=

=(+(=

4) Fie funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= și g(x)=2x-. Calculăm aria cuprinsă între graficele celor două funcții:

y




Aria()




x

Aria()=)dx=(2=

5) Considerăm funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= , g(x)=x+1

y




Aria()

x

Aria()=)dx=() =

6)Se consideră funcția f:RR f(x)=-3m+4mx-3, unde m este un număr real nenul.Aflați m pentru care aria suprafeței plane determinată de graficul funcției,axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=1 să fie maximă.

Aria()=-3m+4mx-3)dx=(-=-+2m-3

Această expresie este de gradul doi și este maximă pentru m=1

7)Fie funcția f:[0,∞)R f(x)=. Aflați numărul a, 0 astfel încât aria suprafeței plane determinată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=a să fie egală cu 1-.

Aria()=)dx=ln(x+2)-=ln(a+2)--ln2=ln-

Egalăm rezultatul obținut cu 1- ,iar după calcule rezultă a=2e-2

Volumul unui corp de rotație

Noțiuni teoretice:

Fie f:[a,b] o funcție continuă.Se numește corp de rotație corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției f în jurul axei Ox și are volumul dat de formula:

V(

Vom studia câteva exemple:

1) Se dă funcția f:[0,1] f(x)= . Calculavolumul corpului generat de rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

Așadar V(=dx===

[=

y

V(




x




z

2)Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subfraficului funcției f:[2,3] f(x)= în jurul axei Ox.

V(====+=

3)Se dă funcția f:[0,4] f(x)= .Aflați a astfel încât V( obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox să fie egal cu 32

V(==8

Egalăm rezultatul obținut cu 32 și din rszolvarea ecuației rezultă a=2

4)Fie f:[0,1] f(x)= . Se cere volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

V((x+=(1=

5)Se consideră funcția f:RR f(x)=3x+5 unde a este real.Să se arate că valoarea minimă a volumului corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției h:[0,1]R h(x)=f(ax) este de pentru orice x

V(

=

Astfel am obținut o funcție de gradul al doilea, iar minimul ei este . După înlocuiri și calcule făcute rezultatul este tocmai .

6)Dându-se funcția f:[0,1]R f(x)=mx+5 , aflați m real astfel încât volumul corpului obținut prin rotirea în jurul lui Ox a subgraficului lui f să fie minim.

V(=+5m+25)

Volumul este minim pentru m=

Bibliografie:

Săndulescu F., Solymoși M.,Nica C., Matematică, bacalaureat-teste, Ed. Booklet, București, 2012


Articole asemanatoare relatate:
Articole asemanatoare mai vechi:

 

Revista cu ISSN

Copilul in familie

  COPILUL ÎN FAMILIE Prof. înv. primar Gligor Dana Școala Gimnazială Cîmpeni Socializarea constituie procesul de continuă transformare a individului "din ființă biologică într-un subiect al unei culturi specifice" (Bernstein, Buc....

Read more

Cunoasterea de sine prin intalnirea cu d…

CUNOAŞTEREA DE SINE PRIN ÎNTÂLNIREA CU DUBLUL ÎN ROMANUL FEMEIE, IATĂ FIUL TĂU DE SORIN TITEL                                                                                                                                                                                                                                   Prof. dr. Ramona Nedea Colegiul Tehnic Buzău   Articolul de faţă îşi propune să evidenţieze tema...

Read more

Despre problemele elevilor care ne creea…

DESPRE PROBLEMELE ELEVILOR CARE NE CREEAZĂ PROBLEME   Silvia Brănescu, Profesor de Limba si literatura română Şcoala cu Clasele I-VIII Mintiu Gherlii, Cluj   Într-un ziar apărea cu ceva timp în urmă un articol care...

Read more

Sporirea eficientizarii activitatilor pr…

SPORIREA EFICIENTIZĂRII ACTIVITĂŢILOR PRIN INTERMEDIUL UNEI EDUCAŢII MODERNE                                                                           Educatoare Portik Laura, Grădiniţa P.P.1 Voinicel Reghin   Ȋnvăţământul trebuie să ţină pasul cu schimbările rapide produse in societate, astfel încât cadrele didactice...

Read more

Fisa de evaluare a activitatii didactice…

Fişă de evaluare a activităţii didactice în inspecţia curentă/specială pentru acordarea gradului didactic II   Vezi noua fişă de evaluare a activităţii didactice în cadrul inspecţiei curente/speciale pentru acordarea gradului didactic II. Această...

Read more

Metodologie de organizare si desfasurare…

Metodologie de organizare si desfasurare a probelor specifice sustinute de elevii sectiilor bilingve francofone in vederea obtinerii mentiunii speciale "sectie bilingva francofona" pe diploma de bacalaureat   Afla Metodologia din 10 septembrie...

Read more

Studiu privind influenta parintilor asup…

STUDIU PRIVIND INFLUENȚA PĂRINȚILOR ASUPRA COPIILOR ÎN ALEGEREA CARIEREI   Andone Crenguța - profesor Colegiul Tehnic de Transporturi Brașov     Alegerea carierei reprezintă o etapă importantă în viața fiecărui individ, este un proces care...

Read more

Concepte pedagogice alternative filoso…

CONCEPTE PEDAGOGICE ALTERNATIVE – FILOSOFIA WALDORF ŞI MONTESSORI Prof. Alexandru Colţan Şcoala Gimnazială Săcălaz, jud. Timiş Conceptele şcolii Waldorf şi Montessori au apărut în România odată cu liberalizarea pieţei...

Read more