Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Aplicatii ale integralei definite
Scris de mihaiela lazar   
Sâmbătă, 15 Februarie 2020 16:21

APLICAȚII ALE INTEGRALEI DEFINITE

Prof. Opriș Brișcan Maria,

Liceul Tehnologic,,C-tin Brâncuși” Oradea

În lucrarea de față mă voi referi la o parte din aplicațiile integralei definite și anume la calculul ariilor unor suprafețe plane și volumelor unor corpuri neregulate.

La geometrie în gimnaziu am învățat să calculăm ariile și perimetrele diferitelor suprafețe plane regulate cum ar fi pătratul,triunghiul,cercul, etc dar și volumele unor corpuri de rotație: cilindrul, conul, sfera etc. Există suprafețe și corpuri neregulate ale căror arii și volume le calculăm cu ajutorul integralelor definite studiate în manualul de ,,Analiză Matematică, în clasa a XII-a.

Cuvinte cheie: arie, suprafețe plane, integrală definită, volume, corpuri de rotație.

Aria unei suprafețe plane

Noțiuni teoretice:

Fie funcția f:[a,b]R continuă și pozitivă.Suprafața mărginită de graficul funcției f ,axa Ox și dreptele de ecuații x=a, x=b se numește subgraficul lui f și aria lui se calculează cu formula: Aria(=

Dacă f,g:[a,b]R sunt continue și f(x)g(x) atunci aria suprafeței cuprinsă între graficele celor două funcții se calculează după formula:

Aria()=

Studiem câteva exemple:

1) Fie funcția f:[0,1] R f(x)=.Cum funcția este pozitivă , aria subgraficului lui f este;

Aria()=)dx=( =+2020

2) f:[e,] R f(x)=xlnx este o funcție pozitivă , prin urmare aria subgraficului lui f ,aplicând formula de integrare prin părți și facând toate calculele este:

Aria()= xlnx)dx=(lnx-) =

3) f:[-3,2]R f(x)=

Aria(=+)dx=

=(+(=

4) Fie funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= și g(x)=2x-. Calculăm aria cuprinsă între graficele celor două funcții:

y




Aria()




x

Aria()=)dx=(2=

5) Considerăm funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= , g(x)=x+1

y




Aria()

x

Aria()=)dx=() =

6)Se consideră funcția f:RR f(x)=-3m+4mx-3, unde m este un număr real nenul.Aflați m pentru care aria suprafeței plane determinată de graficul funcției,axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=1 să fie maximă.

Aria()=-3m+4mx-3)dx=(-=-+2m-3

Această expresie este de gradul doi și este maximă pentru m=1

7)Fie funcția f:[0,∞)R f(x)=. Aflați numărul a, 0 astfel încât aria suprafeței plane determinată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=a să fie egală cu 1-.

Aria()=)dx=ln(x+2)-=ln(a+2)--ln2=ln-

Egalăm rezultatul obținut cu 1- ,iar după calcule rezultă a=2e-2

Volumul unui corp de rotație

Noțiuni teoretice:

Fie f:[a,b] o funcție continuă.Se numește corp de rotație corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției f în jurul axei Ox și are volumul dat de formula:

V(

Vom studia câteva exemple:

1) Se dă funcția f:[0,1] f(x)= . Calculavolumul corpului generat de rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

Așadar V(=dx===

[=

y

V(




x




z

2)Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subfraficului funcției f:[2,3] f(x)= în jurul axei Ox.

V(====+=

3)Se dă funcția f:[0,4] f(x)= .Aflați a astfel încât V( obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox să fie egal cu 32

V(==8

Egalăm rezultatul obținut cu 32 și din rszolvarea ecuației rezultă a=2

4)Fie f:[0,1] f(x)= . Se cere volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

V((x+=(1=

5)Se consideră funcția f:RR f(x)=3x+5 unde a este real.Să se arate că valoarea minimă a volumului corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției h:[0,1]R h(x)=f(ax) este de pentru orice x

V(

=

Astfel am obținut o funcție de gradul al doilea, iar minimul ei este . După înlocuiri și calcule făcute rezultatul este tocmai .

6)Dându-se funcția f:[0,1]R f(x)=mx+5 , aflați m real astfel încât volumul corpului obținut prin rotirea în jurul lui Ox a subgraficului lui f să fie minim.

V(=+5m+25)

Volumul este minim pentru m=

Bibliografie:

Săndulescu F., Solymoși M.,Nica C., Matematică, bacalaureat-teste, Ed. Booklet, București, 2012


Articole asemanatoare relatate:
Articole asemanatoare mai vechi:

 

Revista cu ISSN

Imaginea satului in opera lui Ioan Slavi…

IMAGINEA SATULUI ÎN OPERA LUI IOAN SLAVICI                                                                         Prof. Herman Laura Şcoala cu clasele I-VIII „Nicolae Iorga”, Baia-Mare                                                                                În pleiada scriitorilor români afirmaţi pe la mijlocul celei de-a doua jumătăţi a secolului...

Read more

Educatia Globala abordarea pedagogica si…

EDUCAŢIA GLOBALĂ  - REPERE METODOLOGICE -     3.      ABORDAREA PEDAGOGICĂ ŞI METODE  Strategiile pedagogice frecvente utilizate în predarea educaţiei globale se disting prin: ·        centrarea pe elev – nu numai în ceea ce priveşte metodele,...

Read more

Instrumentul connect fours utilizat in a…

INSTRUMENTUL CONNECT FOURS UTILIZAT ÎN ACTIVITATEA DIDACTICĂ Profesor Bușcă Alexandru Liceul Tehnologic “Lazăr Edeleanu”, Năvodari Rezumat: Acest articol prezintă modul în care pot fi utilizate în activitatea didactică resursele educaționale interactive...

Read more

Comunicarea scoala familie comunitate in…

COMUNICAREA ŞCOALĂ-FAMILIE-COMUNITATE, ÎN CONTEXTUL DESCENTRALIZĂRII SISTEMULUI DE ÎNVĂŢĂMÂNT   prof. istorie Luminiţa Simona Feşnic Liceul Teoretic “Onisifor Ghibu”, Oradea     Scopul acestui articol este sublinierea unor probleme ce marchează mult “trâmbiţata” descentralizare a sistemului...

Read more

Portofoliul responsabilului cu formarea …

Portofoliul responsabilului cu formarea continuă (RFC) din unităţile şcolare     Legea nr. 128/1997 privind Statutul personalului didactic  cu modificările şi completările ulterioare, Legea învăţământului nr. 84/1995, O.M. nr. 5720/2009 privind Metodologia formării continue...

Read more

Scoala sub cupola ecologica

ŞCOALA SUB CUPOLĂ ECOLOGICĂ   Institutor Herczeg Monica Şcoala cu clasele I-VIII Dudeştii-Noi             “Testul major pentru o societate morala este tipul de lume pe care îl lasa pentru copii sai.” (Dietrick Bonhoeffer)           Educaţia...

Read more

Reprezentari ale Babei Dochia in literat…

REPREZENTĂRI ALE BABEI DOCHIA ÎN LITERATURĂ   Prof. Simona Crainic, Liceul De Arte Plastice, Timișoara               Studiul de faţă urmăreşte o trecere în revistă a modului în care Baba Dochia este reprezentată în...

Read more

Notes sur la comprehension

NOTES SUR LA COMPREHENSION   Ilie MINESCU Universitatea de Vest Timişoara   Un individu qui s'apprête à comprendre, n'utilise pas directement les informations dans la forme conventionnelle du discours écrit (ou oral). C'est par l'intermédiaire...

Read more