Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Aplicatii ale integralei definite
Scris de mihaiela lazar   
Sâmbătă, 15 Februarie 2020 16:21

APLICAȚII ALE INTEGRALEI DEFINITE

Prof. Opriș Brișcan Maria,

Liceul Tehnologic,,C-tin Brâncuși” Oradea

În lucrarea de față mă voi referi la o parte din aplicațiile integralei definite și anume la calculul ariilor unor suprafețe plane și volumelor unor corpuri neregulate.

La geometrie în gimnaziu am învățat să calculăm ariile și perimetrele diferitelor suprafețe plane regulate cum ar fi pătratul,triunghiul,cercul, etc dar și volumele unor corpuri de rotație: cilindrul, conul, sfera etc. Există suprafețe și corpuri neregulate ale căror arii și volume le calculăm cu ajutorul integralelor definite studiate în manualul de ,,Analiză Matematică, în clasa a XII-a.

Cuvinte cheie: arie, suprafețe plane, integrală definită, volume, corpuri de rotație.

Aria unei suprafețe plane

Noțiuni teoretice:

Fie funcția f:[a,b]R continuă și pozitivă.Suprafața mărginită de graficul funcției f ,axa Ox și dreptele de ecuații x=a, x=b se numește subgraficul lui f și aria lui se calculează cu formula: Aria(=

Dacă f,g:[a,b]R sunt continue și f(x)g(x) atunci aria suprafeței cuprinsă între graficele celor două funcții se calculează după formula:

Aria()=

Studiem câteva exemple:

1) Fie funcția f:[0,1] R f(x)=.Cum funcția este pozitivă , aria subgraficului lui f este;

Aria()=)dx=( =+2020

2) f:[e,] R f(x)=xlnx este o funcție pozitivă , prin urmare aria subgraficului lui f ,aplicând formula de integrare prin părți și facând toate calculele este:

Aria()= xlnx)dx=(lnx-) =

3) f:[-3,2]R f(x)=

Aria(=+)dx=

=(+(=

4) Fie funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= și g(x)=2x-. Calculăm aria cuprinsă între graficele celor două funcții:

y




Aria()




x

Aria()=)dx=(2=

5) Considerăm funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= , g(x)=x+1

y




Aria()

x

Aria()=)dx=() =

6)Se consideră funcția f:RR f(x)=-3m+4mx-3, unde m este un număr real nenul.Aflați m pentru care aria suprafeței plane determinată de graficul funcției,axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=1 să fie maximă.

Aria()=-3m+4mx-3)dx=(-=-+2m-3

Această expresie este de gradul doi și este maximă pentru m=1

7)Fie funcția f:[0,∞)R f(x)=. Aflați numărul a, 0 astfel încât aria suprafeței plane determinată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=a să fie egală cu 1-.

Aria()=)dx=ln(x+2)-=ln(a+2)--ln2=ln-

Egalăm rezultatul obținut cu 1- ,iar după calcule rezultă a=2e-2

Volumul unui corp de rotație

Noțiuni teoretice:

Fie f:[a,b] o funcție continuă.Se numește corp de rotație corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției f în jurul axei Ox și are volumul dat de formula:

V(

Vom studia câteva exemple:

1) Se dă funcția f:[0,1] f(x)= . Calculavolumul corpului generat de rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

Așadar V(=dx===

[=

y

V(




x




z

2)Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subfraficului funcției f:[2,3] f(x)= în jurul axei Ox.

V(====+=

3)Se dă funcția f:[0,4] f(x)= .Aflați a astfel încât V( obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox să fie egal cu 32

V(==8

Egalăm rezultatul obținut cu 32 și din rszolvarea ecuației rezultă a=2

4)Fie f:[0,1] f(x)= . Se cere volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

V((x+=(1=

5)Se consideră funcția f:RR f(x)=3x+5 unde a este real.Să se arate că valoarea minimă a volumului corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției h:[0,1]R h(x)=f(ax) este de pentru orice x

V(

=

Astfel am obținut o funcție de gradul al doilea, iar minimul ei este . După înlocuiri și calcule făcute rezultatul este tocmai .

6)Dându-se funcția f:[0,1]R f(x)=mx+5 , aflați m real astfel încât volumul corpului obținut prin rotirea în jurul lui Ox a subgraficului lui f să fie minim.

V(=+5m+25)

Volumul este minim pentru m=

Bibliografie:

Săndulescu F., Solymoși M.,Nica C., Matematică, bacalaureat-teste, Ed. Booklet, București, 2012


Articole asemanatoare relatate:
Articole asemanatoare mai vechi:

 

Revista cu ISSN

Competentele unui profesor

COMPETENŢELE UNUI PROFESOR Prof. Nadia Breazu, Colegiul Tehnic Motru, Jud. Gorj Cuvinte cheie: psihopedagogic, psihosocial, autoinstruire Rolul de profesor este, poate, în...

Read more

Fisa de observare a lectiei model

   ANEXA Nr. 5   la regulament   Fisa de observare a lectiei   - model -   Unitatea de invatamant: ....................................................................................................................................................... Data: .......................... Numele si functia cadrului didactic inspectat/asistat: ........................................................................................................... Specialitatea: ........................................................................................................................................................................ Clasa: ..............................................

Read more

Eliberarile si numirile in functie de in…

Situaţia privind eliberările/numirile în funcţiile de inspector şcolar general/inspector şcolar general adjunct şi director al Casei Corpului Didactic   MECTS are în vedere organizarea de concursuri pentru ocuparea funcţiilor de inspector şcolar...

Read more

Fisa de observare a lectiei

FIŞA DE OBSERVARE A LECŢIEI   Loc:                                                                       Data:                               ____   Profesor/Maistru instructor:                                         Total Elevi:                       ____   Observator:                                                             Funcţie:                           ____   Disciplina:                                                                Nivel/an:                           ____   Lecţia:                                                         ...

Read more

DOCUMENTS AUTHENTIQUES ORAUX

                          DOCUMENTS AUTHENTIQUES ORAUX            Lector univ. Ilie MINESCU          Universitatea de Vest TIMIŞOARA     Origine et Classement   Les documents authentiques ont fait leur entrée en didactique des langues au cours de la décennie...

Read more

Analyse contrastive points theoriques

ANALYSE CONTRASTIVE: POINTS THÉORIQUES   Marta Negraia, Şcoala nr. 12 “Miron Costin”, Scoala nr. 1 “Nicolae Mantu”, Liceul Teoretic Dunărea, Galaţi               L’analyse contrastive suppose la comparaison des deux langues en contact, une...

Read more

SCHIMBAREA IN ACTIVITATEA DIDACTICA

SCHIMBAREA ÎN ACTIVITATEA DIDACTICÃ   Prof. limba si literatura românã Ilincar Valerica Grup Şcolar “Tudor Tãnãsescu” Timisoara   Motto: Într-o lume imperfectã pe care o putem influenta în bine sau rãu, constientizarea faptului cã orice încercare conteazã...

Read more

Stafiizarea egoului si demitizarea nefii…

STAFIIZAREA EGOULUI ŞI DEMITIZAREA NEFIINDULUI de Ştefan Lucian MUREŞANU   Moto: Povara acestei lumi este prea grea pentru ca vreun om să o poată purta, iar suferinţa Universului prea crudă pentru o...

Read more