Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Aplicatii ale integralei definite
Scris de mihaiela lazar   
Sâmbătă, 15 Februarie 2020 16:21

APLICAȚII ALE INTEGRALEI DEFINITE

Prof. Opriș Brișcan Maria,

Liceul Tehnologic,,C-tin Brâncuși” Oradea

În lucrarea de față mă voi referi la o parte din aplicațiile integralei definite și anume la calculul ariilor unor suprafețe plane și volumelor unor corpuri neregulate.

La geometrie în gimnaziu am învățat să calculăm ariile și perimetrele diferitelor suprafețe plane regulate cum ar fi pătratul,triunghiul,cercul, etc dar și volumele unor corpuri de rotație: cilindrul, conul, sfera etc. Există suprafețe și corpuri neregulate ale căror arii și volume le calculăm cu ajutorul integralelor definite studiate în manualul de ,,Analiză Matematică, în clasa a XII-a.

Cuvinte cheie: arie, suprafețe plane, integrală definită, volume, corpuri de rotație.

Aria unei suprafețe plane

Noțiuni teoretice:

Fie funcția f:[a,b]R continuă și pozitivă.Suprafața mărginită de graficul funcției f ,axa Ox și dreptele de ecuații x=a, x=b se numește subgraficul lui f și aria lui se calculează cu formula: Aria(=

Dacă f,g:[a,b]R sunt continue și f(x)g(x) atunci aria suprafeței cuprinsă între graficele celor două funcții se calculează după formula:

Aria()=

Studiem câteva exemple:

1) Fie funcția f:[0,1] R f(x)=.Cum funcția este pozitivă , aria subgraficului lui f este;

Aria()=)dx=( =+2020

2) f:[e,] R f(x)=xlnx este o funcție pozitivă , prin urmare aria subgraficului lui f ,aplicând formula de integrare prin părți și facând toate calculele este:

Aria()= xlnx)dx=(lnx-) =

3) f:[-3,2]R f(x)=

Aria(=+)dx=

=(+(=

4) Fie funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= și g(x)=2x-. Calculăm aria cuprinsă între graficele celor două funcții:

y




Aria()




x

Aria()=)dx=(2=

5) Considerăm funcțiile f,g:[0,2]R f(x)= , g(x)=x+1

y




Aria()

x

Aria()=)dx=() =

6)Se consideră funcția f:RR f(x)=-3m+4mx-3, unde m este un număr real nenul.Aflați m pentru care aria suprafeței plane determinată de graficul funcției,axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=1 să fie maximă.

Aria()=-3m+4mx-3)dx=(-=-+2m-3

Această expresie este de gradul doi și este maximă pentru m=1

7)Fie funcția f:[0,∞)R f(x)=. Aflați numărul a, 0 astfel încât aria suprafeței plane determinată de graficul funcției f, axa Ox și dreptele de ecuații x=0, x=a să fie egală cu 1-.

Aria()=)dx=ln(x+2)-=ln(a+2)--ln2=ln-

Egalăm rezultatul obținut cu 1- ,iar după calcule rezultă a=2e-2

Volumul unui corp de rotație

Noțiuni teoretice:

Fie f:[a,b] o funcție continuă.Se numește corp de rotație corpul obținut prin rotirea subgraficului funcției f în jurul axei Ox și are volumul dat de formula:

V(

Vom studia câteva exemple:

1) Se dă funcția f:[0,1] f(x)= . Calculavolumul corpului generat de rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

Așadar V(=dx===

[=

y

V(




x




z

2)Calculați volumul corpului obținut prin rotirea subfraficului funcției f:[2,3] f(x)= în jurul axei Ox.

V(====+=

3)Se dă funcția f:[0,4] f(x)= .Aflați a astfel încât V( obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox să fie egal cu 32

V(==8

Egalăm rezultatul obținut cu 32 și din rszolvarea ecuației rezultă a=2

4)Fie f:[0,1] f(x)= . Se cere volumul corpului obținut prin rotirea subgraficului lui f în jurul axei Ox.

V((x+=(1=

5)Se consideră funcția f:RR f(x)=3x+5 unde a este real.Să se arate că valoarea minimă a volumului corpului obținut prin rotația în jurul axei Ox a graficului funcției h:[0,1]R h(x)=f(ax) este de pentru orice x

V(

=

Astfel am obținut o funcție de gradul al doilea, iar minimul ei este . După înlocuiri și calcule făcute rezultatul este tocmai .

6)Dându-se funcția f:[0,1]R f(x)=mx+5 , aflați m real astfel încât volumul corpului obținut prin rotirea în jurul lui Ox a subgraficului lui f să fie minim.

V(=+5m+25)

Volumul este minim pentru m=

Bibliografie:

Săndulescu F., Solymoși M.,Nica C., Matematică, bacalaureat-teste, Ed. Booklet, București, 2012


Articole asemanatoare relatate:
Articole asemanatoare mai vechi:

 

Revista cu ISSN

Ipostazele elevului in selectia comparar…

IPOSTAZELE ELEVULUI ÎN SELECȚIA, COMPARAREA ȘI ANALIZA SURSELOR BIBLIOGRAFICE Profesor educator Mureșan-Chira Gabriel Școala Gimnazială Specială Centrul de Resurse și Documentare pentru Educația Incluzivă/...

Read more

Creativitatea matematica

CREATIVITATEA MATEMATICĂ Prof. Stancu Magdalena Ioana Liceul Voievodul Mircea Târgovişte Unul dintre scopurile sistemului de învăţămant este să identifice persoanele creative. Perspectivele secolului nostru presupun efectuarea automatizată a acţiunilor economice...

Read more

Organizarea si desfasurarea evaluarii na…

  Ordin privind organizarea si desfasurarea evaluarii nationale pentru absolventii clasei a VIII-a in anul scolar 2012-2013 Vezi Ordinul privind organizarea si desfasurarea evaluarii nationale pentru absolventii clasei a VIII-a in anul...

Read more

Actualitatea interferentelor poetice ale…

ACTUALITATEA INTERFERENŢELOR POETICE ALE LUI ALEXANDRU MACEDONSKI  (1854-1920)   Prof. drd. Miron Costina Violeta Şcoala cu cls. I-VIII Tălpaş, Dolj   Istoria noastră literară nu a înregistrat prea multe interpretări referitoare la perioada 1854-1920, cu excepția...

Read more

Jocul didactic pledoarie pentru cultivar…

JOCUL DE-A CITITORII ŞI PERSONAJELE - PLEDOARIE PENTRU CULTIVAREA SPIRITULUI LUDIC PRIN METODE (NE)CANONICE   Prof. Nicoleta Ichim Grup Şcolar „Ovid Caledoniu”, Tecuci, jud. Galaţi       Demersul îşi propune, aşa cum sugerează şi titlul, să...

Read more

Integrarea elementelor de geografie a tu…

INTEGRAREA ELEMENTELOR DE GEOGRAFIE A TURISMULUI ȊN ACTIVITATEA DIDACTICĂ Prof. Moise Iuliana Daniela, Liceul cu Program Sportiv „I. B. Şoter” Turismul îmbracă...

Read more

Documente consilierul educativ coordonat…

Documentele consilierului educativ / coordonatorului de proiecte  si programe educative scolare si extrascolare   Afla care sunt documentele necesare pentru consilierul educativ / coordonatorul de proiecte si programe educative scolare si extrascolare.   Documente necesare pentru...

Read more

Proiect Comenius multilateral mobilitate…

PROIECT COMENIUS MULTILATERAL MOBILITATE ÎN BURSA - TURCIA   Profesor Lazar Mihaiela Liceul de Artă „Ioan Sima” Zalău   În perioada 17-21 aprilie 2012 a avut loc o nouă reuniune în cadrul proiectului multilateral Comenius...

Read more