Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.

 

Revista cu ISSN

Cunoasterea copilului - tratare individu…

 CUNOAŞTEREA COPILULUI, PREMISA PENTRU O CORECTĂ TRATARE INDIVIDUALĂ DIFERENŢIATĂ     Institutor Mihaela CUCU Şcoala cu clasele I-VIII, Peretu, jud. Teleorman       A cunoaşte un elev înseamnă a descifra notele dominante ale personalităţii sale, a înţelege...

Read more

Importanta creativitatii in dezvoltarea …

IMPORTANŢA STIMULĂRII CREATIVITĂŢII ÎN DEZVOLTAREA COPILULUI   Marinescu Larisa Eromanga, Profesor Psihopedagog, Centrul de Pedagogie Curativă HD - locaţia Lupeni, Judeţul Hunedoara     Creativitatea poate fi definită ca trăsătură complexă a personalităţii umane, constând...

Read more

Nanotehnologiile notiuni introductive

I. NOŢIUNI INTRODUCTIVE         I.1.  Ce reprezintă nanotehnologiile?       Cuvântul Nano provine din limba greacă şi înseamnă “pitic”.  Un nanometru este a miliarda parte  (10-9) dintr-un metru.  Nanotehnologia poate fi definită ca...

Read more

Simularea examenelor de evaluare nationa…

Simularea examenelor de evaluare nationala si bacalaureat 2015   Vezi ordinul si calendarul simularea evaluarii nationale pentru elevii clasei a VIII-a din anul scolar 2014-2015, respectiv: ·         Ordinul privind organizarea si desfasurarea simularii...

Read more

Intre popular si modern Fat frumos din l…

ÎNTRE POPULAR ŞI MODERN - FĂT-FRUMOS DIN LACRIMĂ -   Ileana Faur, profesor, Limba şi Literatura română Liceul  Tehnologic Transporturi Auto, Timişoara   Suntem fascinaţi încă din copilărie de lumea basmelor, a legendelor, a imaginaţiei,...

Read more

Evaluarea elevilor din ciclul primar pri…

EVALUAREA ELEVILOR DIN CICLUL PRIMAR PRIN INTERMEDIUL PROIECTELOR   Prof. înv. primar Bukszar Daniela Școala Gimnazială Lunca Bradului - Județul Mureș   Rezumat: Evaluarea elevilor în cadrul unei discipline, în viziune tradițională, cuantifică doar cunoștințele, priceperile...

Read more

ROLUL PROFESORULUI LA CLASA

ROLUL PROFESORULUI LA CLASÃ   Institutor Anton Simona Marinela Şcoala cu clasele I - VIII nr. 2 Vorniceni, Judetul Botosani     Oricare ar fi latura din care privim clasa de elevi, rolul profesorului este proeminent,...

Read more

Particularitati hidrogeologice ale Balti…

PARTICULARITĂŢI HIDROGEOLOGICE ALE BĂLŢII BRĂILEI   Prof. dr. Ion Andronache, Liceul Tehnologic „Constantin Brâncoveanu”, Brăila   În regim natural de scurgere, nivelul pânzei freatice din Balta Mare a Brăilei era situat la adâncimi de...

Read more