Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.

 

Adaugă comentariu


Codul de securitate
Actualizează

Revista cu ISSN

Prevenirea esecului scolar prin tratarea…

PREVENIREA EŞECULUI ŞCOLAR PRIN TRATAREA DIFERENŢIATĂ A ELEVILOR   Înv. Gligor Dana Şcoala Gimnazială Vidra   Pentru asigurarea succesului în învăţare pentru toţi elevii, este necesară o educaţie diferenţiată, ceea ce presupune crearea situaţiilor...

Read more

Rolul educatiei in dezvoltarea personali…

ROLUL EDUCAȚIEI ÎN DEZVOLTAREA PERSONALITĂȚII Prof. Nadia Breazu Colegiul Tehnic Motru Cuvinte cheie: educabilitate, ineism, ambientalism, interacţionism, repere psiho-genetice Rezumat. Numai omul poate învăţa. Puterea educaţiei...

Read more

Calendarul de desfasurare corpul nationa…

Calendarul de desfasurare corpul national de experti in management educational sesiunea 2012 seria 3     CALENDARUL desfasurarii concursului de selectie a cadrelor didactice pentru constituirea corpului national de experti in management educational,...

Read more

Modalitati de dezvoltare a gandirii crit…

MODALITĂŢI DE DEZVOLTARE A ,, GÂNDIRII CRITICE ” LA ELEVI   Institutor: Herczeg Monica Şcoala cu clasele I-VIII Dudeştii Noi                  Gândirea critică este un produs, un punct la care ajunge gândirea noastră în...

Read more

FRUMOSUL

FRUMOSUL – FENOMEN ESTETIC DE BAZÃ ŞI CATEGORIE CENTRALÃ A ESTETICII   prof. Lazar Mihaiela Liceul de Artã „Ioan Sima” Zalãu     Frumosul reprezintã un fenomen complex deosebit de fluid si prin urmare greu...

Read more

chestionarul un instrument de relevanta …

CHESTIONARUL – UN INSTRUMENT DE RELEVANŢĂ A NECESITĂŢII IMPLEMENTĂRII UNUI PROIECT EDUCAŢIONAL     Prof. înv. primar Magdalena Moromete Şcoala Gimnazială „Ion Minulescu” Piteşti     Rezumat: Interpretarea răspunsurilor din chestionarele aplicate elevilor, anterior demarării unui  proiect,...

Read more

Educatia fizica si sportul

EDUCATIA FIZICA SI SPORTUL   Sensul pedagogic al notiunii de educatie fizica Educatia fizica este o componenta indispensabila a educatiei, care urmareste dezvoltarea armonioasa si normala a organismului, intarirea sanatatii si cultivarea unor...

Read more

Comunicarea didactica

COMUNICAREA DIDACTICĂ   prof. înv. primar Răvășel Oana – Cătălina, Școala Gimnazială Dobrun   Comunicarea a fost definită ca o formă particulară a relaţiei de schimb între două sau mai multe persoane, două sau...

Read more