Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.

 

Adaugă comentariu


Codul de securitate
Actualizează

Revista cu ISSN

The direct object a study on traditional…

THE DIRECT OBJECT - A STUDY ON TRADITIONAL AND MODERN APPROCHES prof. Drăgian Ana-Elena Colegiul Tehnic ,,Constantin Brâncuşi’’ Oradea In pre-theoretical grammars the direct object was frequently...

Read more

CALOIANUL - FAPT SI ACT FOLCLORIC

  CALOIANUL – FAPT ŞI ACT FOLCLORIC Prof. Iorga Violeta Şcoala 16 ,,Nicolae Bãlcescu”, Galati     Ca majoritatea textelor populare, Caloianul trebuie interpretat din dublã perspectivã: ca act si fapt folcloric. Textul...

Read more

Educatia si softul educational

EDUCAŢIA ŞI SOFTUL EDUCAŢIONAL             Profesor Păduraru Constantin Eugen Şcoala gimnazială nr. 1 Slănic Moldova, judeţul Bacău            Rezumat:          Articolul de specialitate propus prezintă impactul deosebit pe care îl are softul...

Read more

Reprezentari ale Babei Dochia in literat…

REPREZENTĂRI ALE BABEI DOCHIA ÎN LITERATURĂ   Prof. Simona Crainic, Liceul De Arte Plastice, Timișoara               Studiul de faţă urmăreşte o trecere în revistă a modului în care Baba Dochia este reprezentată în...

Read more

Pe carari de legenda

PE CĂRĂRI DE LEGENDĂ   Prof. Sandu Diana – Ileana Colegiul Tehnic „Regele Ferdinand” Timişoara   Prezentul articol se doreşte a fi o rememorare a unei excursii minunate realizate împreună cu clasa a cărei dirigintă...

Read more

Influenta antichitatii greco latine in o…

INFLUENȚA ANTICHITĂȚII GRECO-LATINE ÎN OPERA LUI ALEXANDRU MACEDONSKI   MIRON Costina Violeta, Doctorand Universitatea “Ovidius” Constanţa Prof. la Școala cu cls. I-VIII Tălpaș, Dolj   Alexandru Macedonski est le théoricien de la modernité entre les...

Read more

Asociatia Profesorilor din Romania

"Cu cât mai mult traiesc, cu atât mai bine îmi dau seama de cât de puternic si important este impactul atitudinii asupra vietii. Pentru mine, atitudinea este mai importantã decât...

Read more

Abordarea didactica a textului nonlitera…

ABORDAREA DIDACTICĂ A TEXTULUI NONLITERAR   Profesor Muşat Liliana Liceul Teoretic Nicolae Cartojan Giurgiu   În articolul propus am enumerate tipurile de texte nonliterare utilitare şi distractive şi am exeplificat pentru fiecrea tip de text....

Read more