Choose your screen resolution: Auto adjust 800x600 1024x768


Categorii
Scris de administrator   
Joi, 08 Iunie 2017 16:08

CATEGORII

Prof. Badea Brigitte,

Colegiul Tehnic Ion Mincu, Timişoara

Rezumat

Structurile algebrice constituie o ramură fascinantă a algebrei, cu aplicaţii extrem de interesante. Elevilor din clasele a XII-a le sunt pezentate câteva structuri algebrice de bază prin care ei pot întrezări frumuseţea acestei părţi a matematicii. Pentru profesorii interesaţi de extinderea în acest domeniu a cunoştinţelor elevilor pe care îi îndrumă voi prezenta în articol noţiunea de categorie, construită cu ajutorul morfismelor studiate în liceu. Această structură algebrică va fi exemplificată prin două categorii tipice, categoria grupurilor abeliene Ab şi categoria R-modulelor Mod( R).

I. Noţiunea de categorie

Se numeşte categorie o noţiune matematică C dată prin:

- o clasă Ob C ale cărei elemente se numesc obiecte;

- pentru fiecare cuplu de obiecte (A,B), o mulţime notată HomC(A,B) numită mulţimea morfismelor de la A la B;

- pentru fiecare tre iobiecte A, B, C o aplicaţie:

mABC: HomC(A,B) HomC(B,C) ®HomC(A,C), aplicaţii care definesc compunerea morfismelor; vom nota: mABC((f,g)) = gf.

Aceste date sunt supuse următoarelor condiţii:

(Cat.1) Dacă (A,B) şi (C,D) sun tdouă perechi distincte de obiecte din C, atunci

HomC(A,B) ∩ HomC(C,D) = Æ.

(Cat.2) Compunerea morfismelor este asociativă, adică:

dacă f HomC(A,B), g HomC(B,C), h HomC(C,D) atunci h(gf) = (hg)f .

(Cat.3) Pentru fiecare obiect A există un morfism 1A HomC(A, A) astfelîncât f HomC(A, ×) şi g HomC(× ,A) să avem: f1A = f şi 1A g = g .

Observaţie: Pentru fiecare obiect A, morfismul1A numit morfism unitate sau morfism identic, este unic.

Fie D o categorie. O categorie Cse numeşte subcategorie a lui D dacă sunt îndeplinite condiţiile:

1) Ob C ÍObD ;

A, B Ob C, HomC(A,B) HomD(A,B) ;

2) Compunerea înCeste indusă de compunerea din D;

3) A Ob C, 1A HomC (A,A).

Prin duala unei categorii vom înţelege categoria C° dată prin:

a) ObC° = ObC ;

b) HomC° (A,B) = HomC(B,A);

c) pentru A, B, C Ob C°, f HomC° (A,B), g HomC° (B,C), m ((f,g)) = mCBA((g,f)).

Principiul dualităţii: Orice noţiune sau enunţ relativ la obiectele şi morfismele unei categoriiCadmite, prin transcriere în categoriaC°, o noţiune sau un enunţ dual.

Observaţie: Practic, dualizarea se obţine prin inversarea săgeţilor ce reprezintă morfismeleluiC.

II. Exemple

1) Categoria grupurilor abeliene Ab

Această categorie este unul din exemplele tipice de categorii, în mod evident condiţiile fiind îndeplinite pentru grupurile abeliene dotate cu morfismele obişnuite şi cu compunerea morfismelor. Exemplul este accesibil inclusive elevilor de liceu în cazul extinderii cunoştinţelor referitoare la structurile algebrice.

2) Categoria R-modulelor Mod(R)

Fie R un inel comutativ arbitrar, cu elemental unitate 1 ≠ 0.

Printr-un modul peste R sauR-modul înţelegem un grup aditiv abelianX împreună cu o aplicaţie

μ: R X → X care satisface următoarele patru axiome:

(M1) μ ( α+β, x) = μ (α, x) + μ ( β, x), α, β R, x X

(M2)μ( α, x+y) = μ(α, x) + μ (α, y), α R , x, y X

(M3)μ [α,μ ( β, x)]= μ (α β, x), α, β R , x X

(M4) μ (1, x) = x , x X .

Aplicaţia μ este numită înmulţirea cu scalar ia modulului X. Această operaţie externă este notată, de regulă, multiplicativ:μ (α, x) = αx.

Cu această notaţie axiomele (M1) – (M4) se scriu:

(M ) (α+β)x = αx + βx , α, β R, x X

(M ) α(x+y) = αx + αy , α R , x, y X

(M ) α(β x) = (α β)x α, β R , x X

(M ) 1x = x, x X .

Fie X şi Y două R-module. O aplicaţie f: X → Y se numeşte morfism de R-module dacă îndeplineşte condiţiile:

(1) f(x+y) = f(x) + f(y), x, y X

(2) f(αx) = αf(x) , α R, x X.

Cu alte cuvinte f este morfism de R-module dacăşi numai dacă este morfism de grupuri şi păstrează înmulţirea cu scalari.

R-modulele dotate cu morfismele de R-module şi cu compunerea uzuală a morfismelor constituie de asemenea un exemplu tipic de categorie.

Bibliografie:

[1] Dragomir A., Dragomir P. – “Structuri algebrice”, Edit. Facla,Timişoara, 1981;

[2] Mitchell B. – Theory of Categories”, Academic Press, New York, 1965;

[3] SzeTsen Hu Introduction to Homological Algebra”, Holdan-Day Inc., 1968.

 

Revista cu ISSN

Calendar pentru examenul de Bacalaureat …

Calendar pentru examenul de Bacalaureat 2014 Iata calendarul pentru examentul de Bacalaureat 2014, sesiunea iunie-iulie 2014.  

Read more

Perspective moderne in abordarea strateg…

PERSPECTIVE MODERNE ÎN ABORDAREA STRATEGIILOR DE INSTRUIRE Profesor: Broboană Maria Liceul Tehnologic P.S Aurelian-Slatina Teoria inteligențelor multiple multiple-corolare instrucționale. Contrazicând afirmația că rațiunea,...

Read more

Igiena alimentatiei

IGIENA ALIMENTAŢIEI Prof. Camelia Cosma Liceul de Artă ”Ioan Sima”, Școala Gimnazială ”Corneliu Coposu„, Zalău Alimentaţia este unul din factorii importanţi care influenţează starea de sănătate. Se...

Read more

Creativitatea si stimularea potentialulu…

CREATIVITATEA ȘI STIMULAREA POTENȚIALULUI CREATIV LA VÂRSTA PREȘCOLARĂ Comoli Doina, prof. înv. primar Școala Gimnazială Nr. 96, București Creativitatea marchează întreaga personalitate și...

Read more

Tema iubirii si motivul cuplului in roma…

Tema iubirii si motivul cuplului in romanul Maitreyi

TEMA IUBIRII ȘI MOTIVUL CUPLULUI ÎN ROMANUL MAITREYI (Exemplu de proiectare a activității didactice) Marincaș Marinela Adriana, profesor Liceul de Arte ,,Regina Maria”...

Read more

Satira sociala in Tiganiada lui Ion Buda…

SATIRA SOCIALĂ ÎN ȚIGANIADA LUI ION BUDAI – DELEANU   Prof. Drd. Miron Costina Violeta Școala cu clasele I-VIII Tălpaș, Dolj   Mots-clés: satire, intertextualité, société, politique, Tsiganes   Resumé Auteur satirique par excellence, la réponse de...

Read more

Metodologie privind promovarea a 2 ani d…

Metodologia privind promovarea a 2 ani de studii intr-un an scolar reglementeaza accelerarea promovarii elevilor din invatamantul preuniversitar, forma de invatamant cu frecventa, capabili de performante scolare exceptionale.  

Read more

Studiu privind istoricul localitatii Gli…

STUDIU PRIVIND ISTORICUL LOCALITĂŢII GLIMBOCA   Prof. Sandu Diana – Ileana Colegiul Tehnic “Regele Ferdinand” Timişoara   În acest studiu am căutat să ilustrez câteva date semnificative din istoria unui loc fascinant, aproape mitic pentru...

Read more